1. Fiche résumé

• Titre : Hyperbole, cercle et complexes
• Niveau : Terminale S
• Domaine : Application des nombres complexes à la géométrie. Cette activité nécessite l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique comportant un module « Nombres complexes ».
• Durée : Travail en salle informatique une heure, rédaction des démonstrations à terminer en devoir à la maison.

2. Fiche professeur

2.1. Analyse mathématique

• Étude de la nature d’un lieu de points, à savoir l’ensemble des points M’ d’affixe sachant que M d’affixe z décrit une hyperbole H d’équation .
• Conjecture de la nature d’un triangle dont les trois sommets sont les points d’intersection de H avec un cercle de centre o et de rayon donné.
• Démonstration des conjectures.

2.2. Niveau du TP

Classe : Terminale S

Pré-requis :

• Chapitre sur les nombres complexes, y compris les applications à la géométrie.
• Utilisation des fonctionnalités de base d’un logiciel de géométrie dynamique.
• Connaître le théorème des valeurs intermédiaires.

Place dans la progression :
Cette activité vient donc après l’étude des nombres complexes et le chapitre « Continuité ».

2.3. Objectifs

En terme d’apprentissage mathématique :

• Calculer avec des nombres complexes sous forme algébrique et exponentielle.
• Mettre l’accent sur le fait que justifier la nature d’un ensemble de points nécessite un raisonnement par double inclusion.
• Réaliser une activité mettant en jeu analyse et géométrie.

Objectifs instrumentaux :

• Aide à la recherche d’un lieu de points.
• Aide à la recherche de la nature d’un triangle.

2.4. Scénario d’usage

L’activité est proposée en deux versions : une « version hard » à destiner aux bons élèves et une « version soft » moins difficile et plus guidée.
Chacune d’elles comporte deux questions. Dans la version soft, la première question donne quelques indications à l’élève et la seconde question est entièrement balisée. Dans la version hard, la première question ne comporte aucune indication et la seconde question est ouverte. Il est à noter que la dernière démonstration proposée dans le corrigé nécessite la factorisation d’un polynôme par x – 2, 2 étant une racine, notion qui n’est plus au programme de TS. Une indication de la part de l’enseignant sera alors nécessaire pour les élèves s’étant engagés sur cette preuve.

L’activité se déroule en deux temps :

• Dans un premier temps, les élèves ont à émettre deux conjectures : question 1 a) et question 2 a).
• Dans un second temps sont à élaborer les deux démonstrations correspondantes, par exemple sous forme de devoir à la maison.

Apport des TICE :
L’utilisation des TICE est une aide à la compréhension de la notion de lieu.
Par ailleurs, l’élève est amené à formuler deux conjectures, ce qui semble impossible ici, notamment pour la première, sans l’outil informatique. Il devra donc démontrer non pas des résultats donnés a priori, mais des résultats qui auront été observés et renforcés grâce au logiciel.

3. Fichiers (à télécharger en bas de page)

Fiches élève et corrigé :

• Hyperbole-cercle-complexes version hard.pdf
• Hyperbole-cercle-complexes version soft.pdf

Fichiers de géométrie :

• Hyperbole-cercle-complexes version hard.g2w
• Hyperbole-cercle-complexes version soft.g2w

4. Compte-rendu d’expérimentation

Cette activité n’a pas encore été testée. De ce fait il nous est difficile de lister les difficultés que rencontreront les élèves et de quantifier avec précision sa durée.
Une analyse a priori nous permet cependant d’anticiper des difficultés à traiter la réciproque de la démonstration attendue à la question 1 b), voire son absence totale.