Des propositions pour l’enseignement de l’intégrale dans deux brochures de CII à 30 ans d’intervalle. L’une datant de 1981, où l’on retrouve plus largement des idées pour l’enseignement de l’analyse, l’autre portant sur la réforme du lycée de 2010.

Dans le bulletin de la Commission Inter IREM Enseignement de l’Analyse, édité en 1981 par l’IREM de Lyon, parmi de nombreuses idées concernant l’analyse, était proposé un changement profond de l’enseignement de l’intégrale en première et terminale (jusqu’alors fondé sur la notion de primitive). Les auteurs (parmi lesquels Jean-Louis Ovaert) proposaient de fonder l’intégrale sur la mesure des grandeurs, en s’appuyant sur trois principes :

• utiliser les « applications » du calcul intégral dans la définition de l’intégration ;
• calculer des intégrales sans recourir aux primitives ;
• mettre en valeurs des problèmes de barycentres et centres de gravité.

Ils proposaient de démarrer dès la première des problèmes de surfaces et volumes, avec comparaison et additivité, de faire jouer un rôle particulier aux approximations du nombre ?, puis dès l’introduction des fonctions de calculer des longueurs d’arc, des aires, des volumes de révolution… liés aux graphes.
Ils insistaient en même temps sur l’utilité, d’une part de partir de problèmes de la physique (centres de gravité, moments d’inertie, quantité d’électricité, travail d’une force, distance parcourue…), et de l’autre d’introduire peu à peu une formulation abstraite de l’intégration : rôle de la fonction, de son domaine de définition, de la croissance, de l’intégrale des constantes, de l’additivité. Et ils s’interrogeaient sur le rôle des infiniment petits et sur les liens avec le calcul différentiel.
Tout ce travail a eu alors peu d’influence dans l’élaboration des programmes, tant de terminale que de première année d’université. Néanmoins, les programmes de 2002, qui ont mis en place un lien solide entre mathématiques et physique, ont proposé d’introduire l’intégrale comme l’aire sous la courbe. C’était un petit pas vers la conception de l’intégrale comme mesure de grandeurs.

Puis est arrivée la réforme de 2010, supprimant tout lien constructif entre mathématiques et physique. À la suite de ces changements de programmes (auxquels la nouvelle définition de l’intégrale en terminale avait quand même survécu), les commissions Inter IREM Université, Lycée et Statistique et Probabilités ont organisé à Lyon en 2013 un colloque qui a donné lieu à la brochure Inter IREM « La réforme des programmes du lycée, et alors ? ».

On y trouve un atelier intitulé « L’intégrale, de la physique aux mathématiques ». Cet atelier reprend la situation décrite par Marc Legrand qui montre comment une procédure intégrale reposant sur l’activité de mesure de grandeurs de type produit sous-tend diverses modélisations mathématiques : intégrales de Darboux des fonctions bornées, intégrale de Cauchy des fonctions continues, intégrale de Lebesgue des fonctions bornées, intégrale générale de Lebesgue. On y montre aussi que l’intégrale de Riemann enseignée sans rapport avec la mesure des grandeurs perd tout son sens.

Voici une nouvelle réforme et pour en débattre une journée « Les mathe ?matiques dans le nouveau lyce ?e : de ?fis et perspectives » sera organisée à L’IREM de Brest le 24 janvier 2020.