Une brève introduction et sept chapitres pour définir les principes de la géométrie et montrer comment en modifiant ou en supprimant certains axiomes, on obtient les différentes géométries comme par exemple les géométries non euclidiennes, la géométrie non archimédienne ou la géométrie non pascalienne.
Dans l’introduction, il indique en une dizaine de lignes l’objet de son travail :
"1. Comme l’arithmétique, la géométrie n’exige pour son élaboration qu’un petit nombre de propositions fondamentales simples. Ces propositions sont les axiomes de la géométrie. Depuis Euclide, l’établissement de ces axiomes et l’étude de leurs relations ont fait l’objet de travaux nombreux et excellents. Ce problème est celui de l’analyse de notre intuition de l’espace.
2. Le présent travail est un nouvel essai de constituer, pour la géométrie, un système complet d’axiomes aussi simples que possible et d’en déduire les théorèmes les plus importants, de façon à mettre en évidence le rôle des divers groupes d’axiomes et la portée de chacun d’eux."
Les chapitres : I. Les cinq groupes d’axiomes, II. Compatibilité et indépendance des axiomes, III. Théorie des proportions, IV. Des aires planes, V. Le théorème de Desargues, VI. Le théorème de Pascal, VII. Considérations basées sur les Axiomes (I) à (IV).

• Grundlagen der Geometrie, 1899, B.G. Teubner, Leipzig (2° éd. 1903).
• Les principes fondamentaux de la géométrie, première traduction française de L. Laugel, Gauthiers-Villars, Paris 1900. Disponible sur Gallica (BNF).
• Les fondements de la géométrie, édition critique préparée par Paul Rossier. Ouvrage publié avec le concours du CNRS. Dunod, Paris 1971. Fac-simile Gabay.

Elle comporte une Préface du traducteur présentant brièvement les dix éditions des Grundlagen de 1899 à 1968, les quatre parties dont son édition est composée, ainsi qu’une brève biographie de Hilbert.
– La première Partie, de P. Rossier, fait en quelques pages l’état du problème des fondements de la géométrie à la fin du XIX° siècle et se termine par une bibliographie sur les « fondements de la géométrie ».
– La traduction de la deuxième édition des Fondements constitue la deuxième partie, avec l’indication des variantes, les suppléments de P. Bernays, un commentaire et des explications de P. Rossier.
– La troisième partie comprend dix Appendices liés aux Fondements (dont une conférence de Hilbert), avec une introduction du traducteur.
– La quatrième partie reprend des résumés de travaux liés aux Fondements, la plupart publiés dans les Mathematische Annalen.
– L’ouvrage se termine par une table des numéros des théorèmes selon les éditions.

Recherche des œuvres imprimées de Hilbert numérisées, sur le site LiNuM

• Article Hilbert. R. Inhetveen & C. Thiel, Encyclopædia Universalis 1995, vol. 11, p. 408.
  « ...la première construction axiomatique complète de la géométrie sans contradiction avec l’analyse ».

• La philosophie des mathématiques et la théorie de la démonstration de Hilbert, 1930. P. Bernays, in Philosophie des Mathématiques, Vrin 1995, coll. Mathesis, p. 41-82.Trad. H. Sinaceur .

• Peut-on décomposer des figures de même mesure à l’aide des mêmes pièces ? Pour approcher le 3° problème de Hilbert, M. Grégoire, Conte du lundi 16 décembre 1991, in Mnemosyne 2, pp. 60-62, IREM de Paris VII décembre 1992.
  Le problème - Historique rapide des liens entre égalités des mesure des figures et équidécomposabilité.
  Un exposé plus complet, avec des extraits de textes et une bibliographie, se trouve dans les Actes du 8e colloque INTER-IREM Épistémologie et Histoire des Mathématiques, 31 mai - 1e juin 1991, pp. 263-301, La figure et l’espace. IREM de Lyon Villeurbanne, 1993.

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Les deux études ci-dessous parlent des idées de Hilbert, en particulier sur les géométries ; mais peu du texte que nous avons choisi ici.

• Les problèmes de Hilbert, Étienne Ghys, sur Images des mathématiques
• Géométrie de Hilbert, Ludovic Marquis, sur Images des mathématiques-